측지선 낙하 시뮬레이터 — 일반상대성이론 심화

지구본 위를 똑바로 걷기
초록 사람
주황 사람
둘 다 방향을 한 번도 틀지 않고 북쪽으로

휘어진 시공간 곡면
둘레 방향 = 시간 t (앞면에서 위로 흐름)
길이 방향 = 공간 x (가운데 = 천체 중심)
초록 원 = 천체 중심의 세계선 (곧은 선)
주황 띠 = 공의 세계선 (곡면 위 곧은 선)
불룩할수록 시간 방향이 늘어난 곳

강물 모형심화 ①과 다른 비유
움직이는 원 = 중심으로 흘러드는 공간
주황 원 = 사건의 지평선 (흐름 속도 = c)
점선 원 = 1 Rs/c 뒤 빛이 닿는 범위

드래그: 시점 회전 · 휠/핀치: 확대

천체 중심의 세계선

북극

적도

초록 사람

주황 사람

지구본 (둥근 면)

평평한 종이

공간 x →

↑ 시간 t

기초 먼저 · 등가 원리와 자유 낙하

등가 원리 — 자유 낙하하는 승강기 안에서는 무게를 느끼지 않고, 밖을 보지 않으면 중력과 가속 운동을 구별할 수 없습니다(역학과 에너지 교과서 38쪽). 일반 상대성 이론은 이 낙하를 힘을 받지 않은 물체가 휘어진 시공간에서 가장 곧은 길(측지선)을 따르는 운동으로 봅니다(39~40쪽).

지구본·곡면·x–t 그래프는 좌표 위에 그린 비유 그림이며 실제 시공간의 모양이 아닙니다(휘어짐 과장). 측정값과 수식은 접힌 심화이고, 방정식 풀이는 이 활동의 완료 조건이 아닙니다.

펼친 지도 세로 = 북쪽으로 걸은 거리

바꿔 읽기 지구본 → 시공간

지구본		시공간 (① 탭)
북쪽으로 걷기	→	시간이 흐름 (가만히 있어도 미래로 나아감)
초록 사람	→	천체의 중심
주황 사람	→	떨어지는 공
두 사람 사이 거리	→	공과 천체 사이 거리
둥근 지구본	→	휘어진 시공간
점점 빨리 가까워짐	→	점점 빨리 떨어짐 = 중력
펼친 지도	→	x–t 그래프

측정값 지구 크기로 환산

북쪽으로 걸은 거리—

방향을 튼 각도0° (두 사람 모두)

지구본 위 두 사람 거리—

평평한 종이 위 거리—

1000 km 걸을 때마다 가까워지는 거리—

처음 두 사람 간격 (경도 차)30°

지구본과 비교하면 ⓪ 탭의 바꿔 읽기

북쪽 → 둘레 방향(시간)

펼친 지도 → x–t 그래프

초록 사람 → 초록 원(천체 중심)

주황 사람 → 주황 띠(공)

공간에서 본 모습 천체를 관통하는 터널

x–t 그래프 곡면을 평평한 좌표로 펼친 세계선

시공간 휘어짐(과장)0.16

출발 위치 x₀4.5

처음 속도 v₀ (+ 바깥쪽)0.00 c

재생 속도1.0×

천체 관통 터널 공 따라 곡면 회전 뉴턴 궤적 비교

측정값 —

좌표 시간 t—

위치 x—

속도 dx/dt—

좌표 가속도 d²x/dt²—

곡면 위 옆으로 휨(측지 곡률)—

제자리 유지에 필요한 가속도—

상태—

공에는 아무 힘도 작용하지 않습니다. 공은 곡면 위에서 옆으로 전혀 꺾이지 않는 "가장 곧은 선"(측지선)을 따라갈 뿐이고, 그 값이 측지 곡률 ≈ 0으로 표시됩니다.

처음에 정지한 공은 시간 방향(둘레)으로만 나아갑니다. 그런데 천체 쪽으로 갈수록 시간 방향이 늘어난 곡면이라, 곧게 나아가는 선이 저절로 천체 쪽으로 기울어집니다. 이것을 평평한 x–t 좌표로 펼치면 점점 빨라지며 떨어지는 운동이 됩니다.

반대로 지면에 서 있는 물체의 세계선(둘레 원)은 곡면 위에서 휘어진 선입니다. 그 휨을 만드는 것이 지면이 떠받치는 힘, 곧 우리가 느끼는 무게입니다.

※ 엡스타인(L. C. Epstein)식 시공간 비유 모형입니다. 실제 로렌츠 시공간을 유클리드 곡면으로 옮겨 그렸고, 휘어짐은 크게 과장했습니다. 약한 중력장에서는 곡면의 측지선이 뉴턴의 낙하(x–t 그래프의 점선)와 일치하며, 휘어짐을 작게 할수록 두 곡선이 겹칩니다. 공간만 휜 "고무막" 그림으로는 정지한 물체가 떨어지기 시작하는 이유를 설명할 수 없습니다. 낙하의 주원인은 시간의 휘어짐(g_tt)입니다.

심화 · ①과 다른 비유 ①을 먼저 이해한 뒤 보세요

① 시공간 곡면시간 방향이 휜 곡면 위를 곧게 간다
행성처럼 약한 중력 · 비유 모형

② 흐르는 공간평평한 공간이 중심으로 흘러가고, 물체가 그 흐름에 실려 간다
블랙홀처럼 강한 중력 · 정확한 모형

같은 중력을 다른 그림으로 본 것이라 서로 모순되지 않습니다. 산을 지도의 등고선으로 볼 수도 있고 사진으로 볼 수도 있는 것처럼, 보는 방법(좌표)만 다릅니다.

두 그림의 공통점은 하나입니다. 물체는 아무 힘도 받지 않은 채 관성운동을 하는데 중심으로 간다는 것.

놓는 방식 화면을 눌러 물체 추가

던지는 속도 (정지 관찰자 기준)0.50 c

재생 속도1.0×

흐르는 공간 격자 흐름 먼지 빛 도달 범위 빛 신호 발사

측정값 마지막으로 놓은 물체

위치 r / Rs—

공간 흐름 속도—

흐름에 대한 상대 속도—

고유 시간 τ—

에너지 E (정지질량 단위)—

정지 관찰자 기준 속도—

상태—

공간이 강물처럼 중심으로 흘러듭니다. 흐름 속도는 v = c√(Rs/r)입니다. 이 좌표에서 공간 단면 자체는 평평하고, 휘어짐은 "흐름"으로 나타납니다.

흐름과 함께 놓은 물체(아주 먼 곳에서 정지 상태로 떨어진 물체)는 발밑의 공간에 대해 계속 정지해 있습니다. 즉 순수한 관성운동인데도 격자와 함께 중심으로 실려 갑니다.

그 자리 정지는 처음에 흐름을 거슬러 헤엄치는 것과 같아서 곧 휩쓸려 떨어집니다. 지평선(흐름 = c) 안에서는 빛조차 흐름을 거슬러 나갈 수 없어, 점선 원(빛 도달 범위)이 통째로 안쪽으로 밀려납니다.

※ 해밀턴–리슬(Hamilton & Lisle)의 강물 모형으로, 슈바르츠실트 시공간을 정확히 나타냅니다. 시간 t는 함께 떨어지는 관찰자의 시계이고, 운동은 지름 방향 측지선 d²r/dτ² = −GM/r² (Rs = 2GM/c²)을 적분했습니다.

일반상대성이론 심화 활동 · made by 청학고 도쌤 · CC BY-NC-SA 4.0